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正四十八角形
四十八角形(よんじゅうはちかくけい、よんじゅうはちかっけい、tetracontaoctagon)は、多角形の一つで、48本の辺と48個の頂点を持つ図形である。内角の和は8280°、対角線の本数は1080本である。
正四十八角形[編集]
正四十八角形においては、中心角と外角は7.5°で、内角は172.5°となる。一辺の長さが a の正四十八角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {48}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{48}}\simeq 183.08462a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68016c3050c922e583fc3c0eb93933f4b971700)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S&=12a^{2}\cot {\frac {\pi }{48}}\\&=12a^{2}\left(2+{\sqrt {3}}+{\sqrt {8+4{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {16+8{\sqrt {3}}+2{\sqrt {104+60{\sqrt {3}}}}}}\right)\\&=12a^{2}\left(2+{\sqrt {3}}+({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})+{\sqrt {16+8{\sqrt {3}}+10{\sqrt {2}}+6{\sqrt {6}}}}\right)\\&=12a^{2}\left(2+{\sqrt {3}}+({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})+2{\sqrt {4+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {26+15{\sqrt {3}}}}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6cf9d1d745715326b5b8ab3797e807b6247595)
を有理数と平方根で表すことが可能である。
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{48}}=\cos {\frac {\pi }{24}}=\cos \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a98f40d7073a798622934428e8cca2b1c77b755f)
正四十八角形の作図[編集]
正四十八角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形である。
関連項目[編集]
外部リンク[編集]
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (selected) | |
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辺の数: 71–100 (selected) | |
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辺の数: 101– (selected) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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