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ヘルダー平均(ヘルダーへいきん、英語: Hölder mean)、またはべき平均(べきへいきん)、一般化平均(いっぱんかへいきん、英語: generalized mean)、[1]とは、数の集合を集計する関数の族である。特別な場合としてピタゴラス平均(算術平均、幾何平均、調和平均)を含む。名称はオットー・ヘルダーにちなむ。
p を0でない実数とする。正の実数 x1, ... , xn に対して指数 p のヘルダー平均は次で定義される[2]:
![{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n}):=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46df5998197dc5e4fdf03c781c68dfa9ed384bb8)
p = 0 のときは、幾何平均(指数が0に向かうときの極限)で定義する。
![{\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n}):={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab2ae60d7109e906e2fc84168b7d4b176c23255e)
さらに、重み wi (正の数のセット。ただし
)に対して重み付きヘルダー平均は次で定義される:
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&:=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})&:=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d5e41a2e2f48434f9e3545498e02fd370574c9d)
重みを考えない平均は、すべての重みを wi = 1/n としたものに相当する。
特別な場合[編集]
n = 2、a = x1 = M∞, b = x2 = M−∞の場合の図示。 調和平均、H = M−1(a, b),
幾何平均、G = M0(a, b)
算術平均、A = M1(a, b)
二乗平均、Q = M2(a, b)
いくつかの特定の p の値に対しては、特別の名前が付けられている[3]。
- 最小値
![{\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1806e07960ba0e34a91124ebfe503273cad0dfb1)
- 調和平均
![{\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb0d5082b5d1e58fc6479f8532268c8cc1b768c7)
- 幾何平均
![{\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa002fd5ca52e793c4a7baf44b18d435ac1a7ca)
- 算術平均
![{\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1387ea6242b9f3bdf8703bc3f7fbfbccf64b927)
- 二乗平均平方根
![{\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799756c977611d5bb23ab99a1dd604a2a58fe76c)
- 立方平均
![{\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea033d3d469a5602c10b50b74faf83cd1bc1043)
- 最大値
![{\displaystyle M_{+\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6bf6a91ba450d55fae8e5b6664414f67d24e51)
の証明 (幾何平均)
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指数関数を使ってMp の定義式を書き変える。
![{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e70d68040177c8c1152830e6a8873280d4c3a9d)
p → 0 の極限で指数関数の引数にロピタルの定理を適用する。分子と分母をそれぞれ p で微分することで
![{\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}\ln {x_{i}}}{\lim _{p\to 0}\sum _{j=1}^{n}w_{j}\left({\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right)^{p}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92737fabf635a86257ab6cbdde36ad9d20cd7d29)
を得る。指数関数の連続性により上の関係を代入し直して
![{\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00dd8091ac5ce51df2fed4cd5ba0f12d551a99dd)
を得る[2]。
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および の証明
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(必要なら添え字を付けなおすなどして) と仮定する。すると
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f66b335f4fe2ebd73bc41c46df0a78ea61b802)
を得る。 については より導出できる。
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ヘルダー平均は次の性質をもつ[1]:
- 引数 x1, ... , xn の最小値と最大値の間にある。
![{\displaystyle \min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0326719462c0585fb85a9fb767afe2e07d42b94)
- 引数に対して対称である。つまり引数を並べ替えてもその値を変えない。引数の置換演算子を P とすると次式で表される:
![{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf0de84cea18c1e9075e0d25578816611ec4da5)
- 他の平均と同様、引数 x1, ... , xn に対して斉次である。つまり b を正の実数として次式が成り立つ:
![{\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=bM_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b330e94bc3d941b67aa58eecb60c8dde30a2ab)
- 準算術平均(英語版)と同様に、平均の計算は同じサイズのサブブロックの計算に分割できる。これにより、必要に応じて分割統治法を使用して平均を計算できる。
![{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{nk})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)k+1},\dots ,x_{nk})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8acd32b39ec14290aedda2dafbe0a166f1e28b7)
異なるヘルダー平均の間に成り立つ不等式[編集]
一般に -∞ ≤ p < q ≤ +∞ ならば
![{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e581f1930859cbd36029cd0cc3baf28f1594093c)
である。また2つの平均が等しいのは x1 = x2 = ⋯ = xn のとき、かつそのときに限る。これはイェンセンの不等式より、任意の実数 p に対して
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b3ea94b97a19fc604b491857aeedef3bc94d1a)
が成り立つためである。
特に p = -1, 0, 1 の場合を考えると、この不等式は調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 相加平均
![{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots {}x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594dc692d0f27bd7a7ee02361ac9fd2bf9838559)
を意味する。
信号処理[編集]
ヘルダー平均より非線形移動平均が導かれる。これは小さい p の場合には小さい信号値を強調し、大きい p の場合は大きい信号値を強調する。移動算術平均の効率的な実装である smooth
が使えるならば、次のHaskellコードに従って移動ヘルダー平均を実装できる。
powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)
一般化 f-平均[編集]
ヘルダー平均はさらに一般化 f-平均(英語版)に一般化できる。
![{\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb22963818518d52bdb2a2394b2b883becfefe1)
この式は f(x) = log x とすれば、極限を使うことなく幾何平均も表すことができる。ヘルダー平均は f(x) = xp とすることで得られる。
- ^ a b Sýkora, Stanislav (2009). Mathematical means and averages: basic properties. 3. Stan’s Library: Castano Primo, Italy. doi:10.3247/SL3Math09.001
- ^ a b P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, pp. 175-177
- ^ Weisstein, Eric W. "Power Mean". mathworld.wolfram.com (英語). (retrieved 2019-08-17)
関連項目[編集]
外部リンク[編集]